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## 1. 3D 한계평형(LEM) 기둥법 (Method of Columns) 수식·가정·비교
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### 1.1 3D 기둥(Column) 이산화 공통 기하학
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- **기하 정의**: 2D 절편법(Method of Slices)의 수직 절편을 3차원 수직 사각기둥(Column, 격자 크기 $\Delta x \times \Delta y$)으로 확장함. 활동 방향을 $x$(또는 회전 방위각 $\alpha_{\text{slide}}$), 횡방향을 $y$, 연직 상방을 $z$라 정의함.
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- **기둥 바닥 경사각 및 면적**:
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- $(i, j)$번째 기둥 바닥면의 $x$방향 겉보기 경사각을 $\alpha_{x}$, $y$방향 겉보기 경사각을 $\alpha_{y}$라 할 때, 바닥면의 실제 최대 경사각(True dip) $\psi$ 및 바닥 경사 면적 $A$는 다음과 같음:
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$$\cos\psi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha_x + \tan^2\alpha_y}}, \qquad A = \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{\cos\psi}$$
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- 활동 방향($x$축)과 기둥 바닥이 이루는 활동방향 겉보기 경사각 $\varepsilon$ (2D 절편법의 $\alpha_i$에 대응):
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$$\tan\varepsilon = \tan\alpha_x$$
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- **기하 정의 (USGS Scoops3D Manual Section 2.1 및 Hungr, 1987 기준)**: 2D 절편법(Method of Slices)의 수직 절편을 3차원 수직 사각기둥(Column, 격자 크기 $\Delta x \times \Delta y$, 수평 단면적 $A_{h(i,j)} = \Delta x \cdot \Delta y$)으로 확장함. 수평면 내 전체 활동 방위각을 $\delta$($x$축 양의 방향에서 반시계방향 각도; 활동 방향을 $+x$축으로 정렬하면 $\delta = 0^\circ$), 연직 상방을 $z$라 정의함.
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- **기둥 바닥 참 경사각($\psi$), 활동방향 겉보기 경사각($\alpha$) 및 바닥 면적($A, A_h$)**:
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- $(i, j)$번째 기둥 바닥면의 $x, y$ 방향 편미분 경사를 각각 $\tan\alpha_x = \partial z / \partial x$, $\tan\alpha_y = \partial z / \partial y$라 할 때, 바닥면의 **실제 최대 경사각(True dip — 바닥 법선과 연직축 사이의 각)** $\psi_{i,j}$(Scoops3D 매뉴얼 원문 기호 $\varepsilon$에 해당) 및 **바닥 참 경사 면적** $A_{i,j}$, **수평 투영 면적** $A_{h(i,j)}$는 다음과 같음(Reid et al., 2015, p. 11 식 2.2 및 p. 21):
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$$\cos\psi_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2}}, \qquad A_{h(i,j)} = \Delta x \cdot \Delta y = A_{i,j} \cos\psi_{i,j}, \qquad A_{i,j} = \frac{A_{h(i,j)}}{\cos\psi_{i,j}}$$
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- 활동 방향(방위각 $\delta$)으로 측정한 기둥 바닥의 **활동방향 겉보기 경사각(Apparent dip in sliding direction)** $\alpha_{i,j}$ (2D 절편법의 $\alpha_i$ 및 Scoops3D 매뉴얼 p. 11 식 2.3의 $\alpha$에 대응):
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$$\tan\alpha_{i,j} = -\frac{\partial z}{\partial x}\cos\delta - \frac{\partial z}{\partial y}\sin\delta \qquad (\text{활동 방향을 } x\text{축과 일치시키면 } \tan\alpha_{i,j} = \tan\alpha_x)$$
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### 1.2 방법별 수식·가정·출처 상세
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#### ① Hovland (1977) — 3D 단순기둥법 (3D Ordinary / Fellenius Method)
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- **출처**: Hovland, H. J. (1977), "Three-Dimensional Slope Stability Analysis Method", *Journal of the Geotechnical Engineering Division (ASCE)*, 103(GT9), 971–986.
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- **DOI**: `10.1061/AJGEB6.0000493` / URL: `https://doi.org/10.1061/AJGEB6.0000493`
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- **출처**:
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- Hovland, H. J. (1977), "Three-Dimensional Slope Stability Analysis Method", *Journal of the Geotechnical Engineering Division (ASCE)*, 103(GT9), 971–986. DOI: `10.1061/AJGEB6.0000493` / URL: `https://doi.org/10.1061/AJGEB6.0000493`
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- Reid et al. (2015), *USGS Scoops3D Manual*, Section 2.3.1 (pp. 17–19, Eq. 2.24).
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- **핵심 가정**: 기둥과 기둥 사이의 모든 측면 수직력 및 전단력(Intercolumn normal and shear forces)을 $0$으로 무시함(2D Fellenius 법의 3D 확장임).
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- **핵심 수식 (회전 원통/구형 활동면 모멘트 평형 — USGS Scoops3D 채택형)**:
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$$F_{\text{3D,Hovland}} = \frac{\displaystyle\sum_{i,j} R_{i,j} \left[ c'_{i,j} A_{i,j} + \left( W_{i,j} \cos\psi_{i,j} - u_{i,j} A_{i,j} \right) \tan\phi'_{i,j} \right]}{\displaystyle\sum_{i,j} W_{i,j} \left( R_{i,j} \sin\varepsilon_{i,j} + k_h e_{i,j} \right)}$$
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- $W_{i,j}$ : 기둥 자중 ($\text{kN}$), $u_{i,j}$ : 바닥 간극수압 ($\text{kPa}$), $R_{i,j}$ : 회전축에서 기둥 바닥 중심까지의 반경 팔길이 ($\text{m}$), $e_{i,j}$ : 회전축에서 기둥 무게중심까지의 연직 모멘트 팔길이 ($\text{m}$), $k_h$ : 수평지진계수임.
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- **핵심 수식 (회전 구형/원통 활동면 모멘트 평형 — USGS Scoops3D 식 2.24 채택형)**:
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$$F_{\text{3D,Hovland}} = \frac{\displaystyle\sum_{i,j} R_{i,j} \left[ c'_{i,j} A_{i,j} + \left( W_{i,j} \cos\psi_{i,j} - u_{i,j} A_{i,j} \right) \tan\phi'_{i,j} \right]}{\displaystyle\sum_{i,j} W_{i,j} \left( R_{i,j} \sin\alpha_{i,j} + k_h e_{i,j} \right)}$$
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- $W_{i,j}$ : 기둥 자중 ($\text{kN}$), $u_{i,j}$ : 바닥 간극수압 ($\text{kPa}$), $A_{i,j}$ : 기둥 바닥 참 면적 ($\text{m}^2$), $\psi_{i,j}$ : 기둥 바닥 참 경사각, $\alpha_{i,j}$ : 활동방향 겉보기 경사각, $R_{i,j}$ : 회전축에서 기둥 바닥 중심까지의 반경 팔길이 ($\text{m}$), $e_{i,j}$ : 회전축에서 기둥 무게중심까지의 연직 모멘트 팔길이 ($\text{m}$), $k_h$ : 수평지진계수임.
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- **특징**: $F_s$가 우변에 없어 반복 계산 없이 1회 연산으로 즉시 산출됨. 엄밀해 대비 5~15% 보수적(낮은 안전율) 결과를 보이며, 3D Bishop 법의 초기 추정치($F_{s,0}$) 및 대량 격자 고속 스크리닝용으로 쓰임.
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- **우리 데이터 적합성**: **LiDAR DEM 격자($\Delta x \times \Delta y$)를 그대로 기둥으로 매핑하여 수십만 개 후보 구면을 무반복 고속 연산하는 1차 스크리닝 엔진으로 적합함.**
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- **출처**:
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- Hungr, O. (1987), "An extension of Bishop's simplified method of slope stability analysis to three dimensions", *Géotechnique*, 37(1), 113–117. DOI: `10.1680/geot.1987.37.1.113` / URL: `https://doi.org/10.1680/geot.1987.37.1.113`
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- Hungr, O., Salgado, F. M., & Byrne, P. M. (1989), "Evaluation of a three-dimensional method of slope stability analysis", *Canadian Geotechnical Journal*, 26(4), 679–686. DOI: `10.1139/t89-079` / URL: `https://doi.org/10.1139/t89-079`
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- **핵심 가정**: 기둥 간 연직 전단력($X_x, X_y$)은 무시하고, 각 기둥의 **연직 방향($z$) 힘의 평형**으로부터 바닥 수직력 $N_{i,j}$를 구한 뒤 회전축에 대한 **전체 모멘트 평형**을 만족시킴.
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- **핵심 수식**:
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$$F_{\text{3D,Bishop}} = \frac{\displaystyle\sum_{i,j} R_{i,j} \frac{c'_{i,j} A_{i,j} + \left( W_{i,j} - u_{i,j} A_{i,j} \cos\psi_{i,j} \right) \tan\phi'_{i,j}}{m_{\alpha (i,j)}}}{\displaystyle\sum_{i,j} W_{i,j} \left( R_{i,j} \sin\varepsilon_{i,j} + k_h e_{i,j} \right)}$$
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$$\text{여기서, } \quad m_{\alpha (i,j)} = \cos\psi_{i,j} + \frac{\sin\varepsilon_{i,j} \cdot \tan\phi'_{i,j}}{F_{\text{3D,Bishop}}}$$
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- (참고: $A_{i,j} \cos\psi_{i,j} = \Delta x \Delta y$ 이므로 분자의 $(W_{i,j} - u_{i,j} \Delta x \Delta y)\tan\phi'_{i,j}$는 2D Bishop 식과 완전히 동일한 구조를 가짐).
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- Reid et al. (2015), *USGS Scoops3D Manual*, Section 2.3.2 (pp. 19–21, Eq. 2.33).
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- **핵심 가정**: 기둥 간 연직 전단력($X_x, X_y$)은 무시하고, 각 기둥의 **연직 방향($z$) 힘의 평형**($N_{i,j}\cos\psi_{i,j} + S_{i,j}\sin\alpha_{i,j} = W_{i,j}$)으로부터 바닥 수직력 $N_{i,j}$를 구한 뒤 회전축에 대한 **전체 모멘트 평형**을 만족시킴.
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- **핵심 수식 (Hungr, 1987 및 Scoops3D p. 21 식 2.33 원문)**:
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$$F_{\text{3D,Bishop}} = \frac{\displaystyle\sum_{i,j} R_{i,j} \frac{c'_{i,j} A_{h(i,j)} + \left( W_{i,j} - u_{i,j} A_{h(i,j)} \right) \tan\phi'_{i,j}}{m_{\alpha (i,j)}}}{\displaystyle\sum_{i,j} W_{i,j} \left( R_{i,j} \sin\alpha_{i,j} + k_h e_{i,j} \right)}$$
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$$\text{여기서, } \quad A_{h(i,j)} = A_{i,j} \cos\psi_{i,j} = \Delta x \Delta y, \qquad m_{\alpha (i,j)} = \cos\psi_{i,j} + \frac{\sin\alpha_{i,j} \cdot \tan\phi'_{i,j}}{F_{\text{3D,Bishop}}}$$
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- **유도 주의사항**: 연직 평형식에서 $N_{i,j} = \dfrac{W_{i,j} - (c'_{i,j} A_{i,j} - u_{i,j} A_{i,j}\tan\phi'_{i,j})\sin\alpha_{i,j}/F}{\cos\psi_{i,j} + \sin\alpha_{i,j}\tan\phi'_{i,j}/F}$를 전단저항 $S_{i,j} = [c'_{i,j} A_{i,j} + (N_{i,j} - u_{i,j} A_{i,j})\tan\phi'_{i,j}]/F$에 대입하고 통분하면, 점착력 항의 $c'_{i,j} A_{i,j} \sin\alpha_{i,j}\tan\phi'_{i,j}/F$가 소거되면서 분자의 점착력 계수는 참 바닥 면적 $A_{i,j}$가 아니라 **수평 면적 $A_{h(i,j)} = A_{i,j}\cos\psi_{i,j}$**로 묶임(Scoops3D p. 21 식 2.33).
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- **특징**: 좌우변에 $F_{\text{3D,Bishop}}$이 포함되어 고정점 반복법(통상 5~10회 반복)으로 수렴시킴. 대칭·준대칭 3D 활동면에서 3D 엄밀해(Spencer, M-P)와 오차가 1~3% 이내이면서 수렴 실패가 거의 없어 **실무 3D LEM의 사실상 표준(Scoops3D, CLARA, Slide3, 3D Slope/W 기본 옵션)**임.
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- **우리 데이터 적합성**: **Aislo의 2D Bishop 간편법 솔버와 수식 구조($m_\alpha$ 반복 및 클리핑)가 1:1 호환되며, LiDAR DEM + 3D 노선 절·성토 계획면 통합 메시 위에서 가장 안정적으로 동작함.**
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- **출처**: Hungr, O., Salgado, F. M., & Byrne, P. M. (1989), *Canadian Geotechnical Journal*, 26(4), 679–686. DOI: `10.1139/t89-079`
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- **핵심 가정**: 회전 모멘트 평형 대신 **활동 방향($x$) 수평력 평형**과 **연직($z$) 힘 평형**만을 사용함. 구형·원통형이 아닌 임의 형상(하부 암반 경계면을 따르는 다면체·비원호 3D 파괴면)에 적용 가능함.
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- **핵심 수식**:
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$$F_{\text{3D,Janbu}} = f_0 \cdot F_0, \qquad F_0 = \frac{\displaystyle\sum_{i,j} \frac{\left[ c'_{i,j} A_{i,j} + \left( W_{i,j} - u_{i,j} A_{i,j} \cos\psi_{i,j} \right) \tan\phi'_{i,j} \right] \cos\varepsilon_{i,j}}{m_{\alpha (i,j)}}}{\displaystyle\sum_{i,j} W_{i,j} \left( \tan\varepsilon_{i,j} + k_h \right)}$$
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$$F_{\text{3D,Janbu}} = f_0 \cdot F_0, \qquad F_0 = \frac{\displaystyle\sum_{i,j} \frac{c'_{i,j} A_{h(i,j)} + \left( W_{i,j} - u_{i,j} A_{h(i,j)} \right) \tan\phi'_{i,j}}{\cos\alpha_{i,j} \cdot m_{\alpha (i,j)}}}{\displaystyle\sum_{i,j} W_{i,j} \left( \tan\alpha_{i,j} + k_h \right)}$$
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- **수식 주의사항**: 2D Janbu 간편법의 분모 인수 $\cos^2\alpha_i (1 + \tan\alpha_i \tan\phi'_i / F) = \cos\alpha_i \cdot m_{\alpha i}$와 동일하게, 3D 수평력 평형에서도 분자를 $\cos\alpha_{i,j} \cdot m_{\alpha(i,j)}$로 **나누며**(곱하기 아님), 점착력 항에도 수평 투영 면적 $A_{h(i,j)} = \Delta x \Delta y$가 적용됨.
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- **우리 데이터 적합성**: **얇은 산림 표토층이 3D 기반암(리핑암·연암) 경계면을 따라 미끄러지는 비구형 복합 파괴면 검토에 적합함.**
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#### ④ Cheng & Yip (2007) — 비대칭 3D Bishop · Janbu · Morgenstern-Price (활동방향 $\alpha_{\text{slide}}$ 포함 엄밀해)
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자체 3D 사면안정 솔버를 구현할 때 `resources/tester/` 단위 테스트의 정답지(Ground Truth)로 사용할 수 있는 국제 공인 3D 벤치마크 3선임.
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### 4.1 벤치마크 1: Baligh & Azzouz (1975) / Hungr et al. (1989) 순수 점성토 구형 파괴 해석해
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### 4.1 벤치마크 1: Gens et al. (1988) / Hungr et al. (1989) / Scoops3D 6.1 — 순수 점성토 구형 파괴 해석해
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- **출처**:
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- Baligh, M. M., & Azzouz, A. S. (1975), "End effects on stability of cohesive slopes", *Journal of the Geotechnical Engineering Division (ASCE)*, 101(GT11), 1105–1117. DOI: `10.1061/AJGEB6.0000210`
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||||
- Gens, A., Hutchinson, J. N., & Cavounidis, S. (1988), "Three-dimensional analysis of slides in cohesive soils", *Géotechnique*, 38(1), 1–23. DOI: `10.1680/geot.1988.38.1.1`
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||||
- Hungr, O., Salgado, F. M., & Byrne, P. M. (1989), *Canadian Geotechnical Journal*, 26(4), 679–686. DOI: `10.1139/t89-079`
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- Reid et al. (2015), *USGS Scoops3D Manual*, Verification Test 1 (pp. 73–76). DOI: `10.3133/tm14A1`
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- **입력 조건**:
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- 비탈면 경사: $2\text{H} : 1\text{V}$ ($\beta = 26.565^\circ$), 균질 비배수 점성토 ($\phi_u = 0^\circ$, 간극수압 $u = 0$)
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- 무차원 강도비: $\dfrac{c_u}{\gamma H} = 0.20$ (예: 사면 높이 $H = 10\text{ m}$, 단위중량 $\gamma = 20\text{ kN/m}^3$, 점착력 $c_u = 40\text{ kPa}$)
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- 구형 파괴면: 사면 하단(Toe)을 통과하는 구형 파괴면 (구 중심이 사면 끝단 수직 상방에 위치, 반지름 $R / H = 2.0$)
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- **문헌 기준 정답 수치**:
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- **2D 원호 해석해 (Ordinary / Bishop 동일)**: $F_{\text{2D}} = 1.329$
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- **3D 닫힌 형태 해석해 (Closed-form Analytical Solution)**: **$F_{\text{3D,exact}} = 1.402$** (3D/2D 안전율 비 $= 1.055$)
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- **Hungr (1989) 3D Bishop 기둥법 수치해**: **$F_{\text{3D,Bishop}} = 1.422$** (해석해 대비 $+1.4\%$ 오차)
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- **USGS Scoops3D (세밀 격자)**: **$F_{\text{3D,Scoops}} = 1.401 \sim 1.405$**
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- **우리 데이터 적합성**: **3D 기둥 분할 면적($A_{i,j}$)과 모멘트 팔길이 적분 정확도를 검증하는 가장 기본적인 단위 테스트($\phi=0$ 검증용)로 즉시 활용 가능함.**
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||||
- Reid et al. (2015), *USGS Scoops3D Manual*, Section 6.1 "Comparison with Exact 3D Analytical Solutions" (pp. 158–159, Fig. 6.1, Table 6.2). DOI: `10.3133/tm14A1`
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- **입력 조건 (Scoops3D p. 158 원문 — 단위계 무관 무차원화 제원)**:
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- 비탈면 형상: 경사 $2\text{H} : 1\text{V}$ ($\beta = \arctan(0.5) \approx 26.565^\circ$)인 **무한 평면 사면 (Uniform straight slope)**
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- 지반 물성치: 균질 비배수 순수 점성토 — 점착력 $c_u = 0.1$, 단위중량 $\gamma = 1.0$, 내부마찰각 $\phi_u = 0.0^\circ$, 간극수압 $u = 0$
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- 구형 파괴면: 구 반지름 $R = 1.0$, **구 중심에서 사면 경사면까지의 수직(법선) 거리 $z = 0.5 R = 0.5$** (사면 경사면 위로 잘리는 구 모자 높이 $h = R - z = 0.5$; 사면 위 투영점을 원점 $(0,0,0)$으로 두면 구 중심 좌표는 $(0.5\sin\beta, 0, 0.5\cos\beta)$임)
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- **문헌 기준 정답 수치 (Scoops3D Table 6.2 원문)**:
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- **3D 닫힌 형태 해석해 (Closed-form Analytical Solution)**: **$F_{\text{3D,exact}} = 1.402$**
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- **구 모자(Spherical cap) 활동체 이론 부피**: **$V_{\text{exact}} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h) = \frac{1}{3}\pi (0.5)^2 (2.5) \approx 0.6545\text{ }R^3$ ($0.654$)**
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- **USGS Scoops3D 수치해 (Table 6.2 — 150,292개 기둥, 격자 $0.00375$)**: **$F_{\text{3D,Bishop}} = 1.400$** ($-0.14\%$), **$F_{\text{3D,Ordinary}} = 1.400$** ($-0.14\%$), 활동체 부피 $V = 0.655$ ($+0.15\%$)
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||||
- *(비고: 구판 초안에 기재되었던 2D $1.329$ 및 Hungr $1.422$ 수치는 Scoops3D Section 6.1 및 Hungr 1989 원문에서 출처 확인 안 됨)*
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- **우리 데이터 적합성**: **3D 기둥 분할 면적($A_{i,j}, A_{h(i,j)}$), 구 모자 부피($0.6545$), 모멘트 팔길이 적분 정확도를 검증하는 가장 기본적인 단위 테스트($\phi=0$ 검증용)로 즉시 활용 가능함.**
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### 4.2 벤치마크 2: Zhang (1988) / Hungr et al. (1989) $c'-\phi'$ 복합토 타원체·구형 파괴 (3가지 케이스)
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### 4.2 벤치마크 2: Zhang (1988) / Hungr et al. (1989) / Lam & Fredlund (1993) — $c'-\phi'$ 복합토 타원체 파괴 (3가지 케이스)
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- **출처**:
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||||
- Zhang, X. (1988), "Three-dimensional stability analysis of concave slopes in plan view", *Journal of Geotechnical Engineering (ASCE)*, 114(6), 658–671. DOI: `10.1061/(ASCE)0733-9410(1988)114:6(658)`
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||||
- Chen, Z., Wang, X., Haberfield, C., Yin, J. H., & Wang, Y. (2001), "A three-dimensional slope stability analysis method using the upper bound theorem Part I: theory and methods", *International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences*, 38(3), 369–378. DOI: `10.1016/S1365-1609(01)00012-0`
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||||
- Hungr, O., Salgado, F. M., & Byrne, P. M. (1989), *Canadian Geotechnical Journal*, 26(4), 679–686. DOI: `10.1139/t89-079`
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||||
- Lam, L., & Fredlund, D. G. (1993), "A general limit equilibrium model for three-dimensional slope stability analysis", *Canadian Geotechnical Journal*, 30(6), 905–919. DOI: `10.1139/t93-089`
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||||
- Fredlund, D. G., & Krahn, J. (1977), *Canadian Geotechnical Journal*, 14(3), 429–439 (2D 원형 문제 출처; Rocscience Slide2 Verification #21 · #22).
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||||
- *PLoS ONE* 18(7): e0287998 (2023), Fig. 5 & Table 2; Rocscience Slide3 2D Extruded Verification #14~#16.
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- **입력 조건**:
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- 비탈면 경사: $2\text{H} : 1\text{V}$ ($\beta = 26.565^\circ$), 사면 높이 $H = 12.2\text{ m}$ ($40\text{ ft}$)
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- 지반 물성치: 단위중량 $\gamma = 18.84\text{ kN/m}^3$ ($120\text{ pcf}$), 점착력 $c' = 28.73\text{ kPa}$ ($600\text{ psf}$), 내부마찰각 $\phi' = 20^\circ$
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- 활동면 형상: 단면 반지름 $R_x = 24.4\text{ m}$ ($80\text{ ft}$)인 구형($R_y = 24.4\text{ m}$) 또는 회전타원체
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- **문헌 기준 정답 수치 (구형 $R_x = R_y = 24.4\text{ m}$ 기준)**:
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- 비탈면 형상: 경사 $2\text{H} : 1\text{V}$ ($\beta = 26.565^\circ$), 사면 높이 $H = 12.2\text{ m}$ ($40\text{ ft}$)
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- 지반 물성치: 단위중량 $\gamma = 18.84\text{ kN/m}^3$ ($120\text{ pcf}$, 문헌에 따라 $18.8\text{ kN/m}^3$로 반올림), 점착력 $c' = 28.73\text{ kPa}$ ($600\text{ psf}$, 문헌에 따라 $29.0\text{ kPa}$로 반올림), 내부마찰각 $\phi' = 20^\circ$
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- 활동면 형상 (**3축 타원체 Ellipsoid**):
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- 단면 방향 반지름 **$R_x = R_z = 24.4\text{ m}$ ($80\text{ ft}$)**, 횡방향(노선 방향) 반지름 **$R_y = 78.2\text{ m}$ ($256.6\text{ ft}$)** (구형이 아니라 종횡비 $R_y / R_x \approx 3.205$인 타원체임)
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- 타원체 중심 위치: **비탈면 발끝(Toe)으로부터 사면 바깥쪽(수평)으로 $6.1\text{ m}$ ($20\text{ ft}$), 위쪽(연직)으로 $21.3\text{ m}$ ($70\text{ ft}$)** (Fredlund & Krahn 1977 원문 좌표계에서 발끝 $(140, 20)\text{ ft}$, 원호 중심 $(120, 90)\text{ ft}$에 해당)
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- **문헌 기준 정답 수치 (타원체 $R_x = R_z = 24.4\text{ m}, R_y = 78.2\text{ m}$ 기준)**:
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- **Case 1 (균질 건조 사면, $u = 0$)**:
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- Zhang (1988) 3D LEM: **$F_{\text{3D}} = 2.122$**
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- Hungr et al. (1989) 3D Bishop: **$F_{\text{3D}} = 2.130$**
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- Hungr et al. (1989) 3D Bishop (*PLoS ONE* e0287998 표 2): **$F_{\text{3D}} = 2.167$** *(구판 초안의 $2.130$은 원문 출처 확인 안 됨)*
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- Griffiths & Marquez (2007) 3D FEM-SSR: **$F_{\text{3D}} = 2.150$**
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- (참고: 동일 단면 2D Bishop 안전율 $F_{\text{2D}} = 1.928$)
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- **Case 2 (하부 박층 연약대 포함 — 연약층 $c'_w = 0\text{ kPa}, \phi'_w = 10^\circ$, 비구형 복합파괴)**:
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- Zhang (1988): **$F_{\text{3D}} = 1.553$** / Hungr et al. (1989) 3D Bishop: **$F_{\text{3D}} = 1.620$** / 3D Janbu 보정법: **$F_{\text{3D}} = 1.540$**
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- **Case 3 (Case 2 + 지하수위면 Piezometric surface 포함)**:
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- Zhang (1988): **$F_{\text{3D}} = 1.258$** / Hungr et al. (1989) 3D Bishop: **$F_{\text{3D}} = 1.300$**
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- **우리 데이터 적합성**: **$c'-\phi'$ 복합 지반, 다층 경계(연약층), 지하수압($u$)이 모두 포함된 표준 검증 문제로서 3D Bishop 및 3D Janbu 솔버의 교차 검증 기준으로 적합함.**
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- (참고 — Fredlund & Krahn 1977 표 2의 동일 단면 2D 안전율: **2D Ordinary(Fellenius) = $1.928$**, **2D Bishop Simplified = $2.080$**)
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- **Case 2 (하부 박층 연약대 포함 — 타원체 바닥이 수평 연약층에서 절단되는 복합 파괴)**:
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- **연약층 물성 및 위치**: $c'_w = 0\text{ kPa}, \phi'_w = 10^\circ, \gamma = 18.8\text{ kN/m}^3$. 연약층 저면 위치는 **비탈면 발끝(Toe) 아래 약 $0.94\text{ m}$** (두께 약 $0.3\text{ m}$; Slide2 Verification #22에서는 발끝 아래 약 $4\sim 5\text{ ft}$ 위치에 두께 $1\text{ ft}$로 모델링하며, 문헌마다 연약층 심도가 미세하게 달라 안전율이 소수점 둘째 자리에서 차이 남).
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- Zhang (1988): **$F_{\text{3D}} = 1.553$** (일부 인용 문헌 $1.533$)
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- Hungr et al. (1989) 3D Bishop: **$F_{\text{3D}} = 1.620$**
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- Lam & Fredlund (1993): **$1.607 \cdot 1.558 \cdot 1.62 \cdot 1.603$** (4개 값 제시, 세부 방법 표기 없음; 구판 초안의 「3D Janbu 보정법 $1.540$」은 원문 출처 확인 안 됨)
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- **Case 3 (Case 2 + 지하수위선 Piezometric surface 포함)**:
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- **지하수위선 좌표 (Fredlund & Krahn 1977 Fig. 8 · Slide3 Verification #16 Fig. 16)**: 사면 뒤쪽 경계(발끝 뒤 수평거리 $42.7\text{ m} = 140\text{ ft}$)에서 **발끝 위 높이 $6.1\text{ m}$ ($20\text{ ft}$)** 지점 $\rightarrow$ **비탈면 발끝(Toe)**까지 직선 연결 $\rightarrow$ 발끝 앞쪽은 지표면을 따름. 간극수압은 $u = \gamma_w \times (\text{수위선 아래 연직 깊이})$로 계산함.
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- Zhang (1988) (Slide3 Verification #14~#16 Referee 줄): **$F_{\text{3D}} = 1.441$** *(구판 초안의 $1.258$은 2D 약층+수위선 Bishop 안전율 $1.248$과 혼동된 오기임)*
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- Lam & Fredlund (1993): **$1.511 \cdot 1.481 \cdot 1.54 \cdot 1.508$** (Case 3 / Case 2 안전율 비 $= 0.940 \sim 0.951$)
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- Gharti et al. (2011) спектрал/FEM: **$F_{\text{3D}} = 1.49$** *(구판 초안의 Hungr $1.300$은 원문 출처 확인 안 됨)*
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- **우리 데이터 적합성**: **$c'-\phi'$ 복합 지반, 다층 경계(연약층 절단), 지하수압($u$)이 모두 포함된 표준 검증 문제로서 3D Bishop 및 3D Janbu 솔버의 교차 검증 기준으로 적합함.**
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### 4.3 벤치마크 3: Leshchinsky et al. (1985, 1986) 변분법 3D 한계해석 벤치마크
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- **출처**: Leshchinsky, D., Baker, R., & Silver, M. L. (1985), "Three dimensional analysis of slope stability", *International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics*, 9(3), 199–223. DOI: `10.1002/nag.1610090302`
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@@ -250,3 +264,23 @@
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라이센스(CC-BY 3.0 및 미국 연방정부 Public Domain)가 재배포·보관을 허용하는 핵심 원문 PDF를 동 폴더 하위 [`참고문헌/`](참고문헌/)에 저장함:
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1. `Mergili_2014_GMD_r_slope_stability_3D_GIS.pdf` — Mergili et al. (2014), *Geoscientific Model Development*, 7, 2969–2982 (CC-BY 3.0 오픈액세스, 3D 타원체 기둥법 수식 및 GIS 격자 알고리즘 원문).
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2. `Reid_2015_USGS_TM14A1_Scoops3D_Manual.pdf` — Reid et al. (2015), *USGS Techniques and Methods 14-A1* (Public Domain, Scoops3D 3D Hovland/Bishop 기둥법 수식 및 벤치마크 원문).
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## 고침 이력(2026-10-26)
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1. **1.2 ② Hungr 3D Bishop 분자 점착력 항**: `c'_{i,j} A_{i,j}`(참 바닥 면적) $\rightarrow$ `c'_{i,j} A_{h(i,j)}`(수평 투영 면적 $\Delta x \Delta y = A_{i,j}\cos\psi_{i,j}$)로 고침 (근거: Hungr 1987 및 USGS Scoops3D Manual p. 21 식 2.33 — 연직 평형에서 $N$ 소거 시 $c'A\sin\alpha/F$가 $m_\alpha$로 묶여 $c'A\cos\psi = c'A_h$가 됨).
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2. **1.2 ③ Hungr 3D Janbu $F_0$ 분자 $\cos\alpha$ 연산**: `[c'A + …] × \cos\varepsilon / m_\alpha` $\rightarrow$ `[c'A_h + (W - u A_h)\tan\phi'] ÷ (\cos\alpha \cdot m_\alpha)`로 고침 (근거: Hungr et al. 1989 — 2D Janbu 간편법의 $\cos^2\alpha(1+\tan\alpha\tan\phi'/F) = \cos\alpha \cdot m_\alpha$와 동일하게 나누기임).
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3. **1.2 ③ Hungr 3D Janbu $F_0$ 분자 점착력 면적**: `c'_{i,j} A_{i,j}` $\rightarrow$ `c'_{i,j} A_{h(i,j)}`로 고침 (근거: #1과 동일하게 연직 힘 평형 대입 결과 수평 면적 $A_h$가 적용됨).
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4. **1.1 및 1.2 ①~③ 경사각 기호 정의**: 정의 없던 $\psi, \varepsilon$ 혼용 및 $m_\alpha$의 $\sin\varepsilon$ $\rightarrow$ 바닥 참 경사각 $\psi$(바닥 법선과 연직 사이 각), 활동방향 겉보기 경사각 $\alpha$, $m_\alpha = \cos\psi + \sin\alpha\tan\phi'/F$, 구동 모멘트 $W(R\sin\alpha + k_h e)$로 통일함 (근거: USGS Scoops3D Manual Section 2.1 pp. 11–21 식 2.2, 2.3, 2.33).
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5. **4.1 벤치마크 1 입력 조건**: `c_u/\gamma H = 0.20, H=10 m, 발끝 지나는 구, 중심 발끝 위, R/H=2` $\rightarrow$ `2:1 무한 평면 사면, 구 R = 1, 구 중심에서 사면 경사면까지 법선 거리 z = 0.5 R, c_u = 0.1, \gamma = 1.0, \phi = 0 → F = 1.402, 구 모자 부피 V = 0.6545 R^3(0.654)`로 고침 (근거: Gens et al. 1988; Hungr et al. 1989; USGS Scoops3D Manual Section 6.1 pp. 158–159 Fig. 6.1 & Table 6.2).
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6. **4.1 벤치마크 1의 2D `1.329` 및 Hungr `1.422`**: 원문 없는 수치 제거 및 `출처 확인 안 됨` 표기 후 Scoops3D Table 6.2 원문 수치(`1.400`, 부피 `0.655`)로 교체함 (근거: USGS Scoops3D Manual p. 159 Table 6.2).
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7. **4.2 벤치마크 2(Zhang 1988) 활동면 형상**: `구형 Rx = Ry = 24.4 m 기준` $\rightarrow$ `타원체(Ellipsoid) Rx = Rz = 24.4 m (80 ft), Ry = 78.2 m (256.6 ft), 중심 = 발끝에서 바깥 6.1 m (20 ft), 위 21.3 m (70 ft) (FK 1977 원문 (120, 90) ft)`로 고침 (근거: PLoS ONE 18(7) e0287998 Fig. 5 & Table 2).
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8. **4.2 경우 1 Hungr 3D Bishop 안전율**: `2.130`(출처 확인 안 됨) $\rightarrow$ `2.167`로 고침 (근거: PLoS ONE 18(7) e0287998 Table 2).
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9. **4.2 경우 1 2D 비교 안전율**: `2D Bishop 1.928` $\rightarrow$ `2D Ordinary(Fellenius) = 1.928, 2D Bishop Simplified = 2.080`으로 고침 (근거: Fredlund & Krahn 1977 Table 2 및 Slide2 Verification #21 Table 21.2).
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10. **4.2 경우 2 연약층 위치 명세 추가**: 위치 누락 $\rightarrow$ `비탈면 발끝 아래 약 0.94 m, 두께 약 0.3 m (Slide2 #22는 발끝 아래 4~5 ft, 두께 1 ft; 문헌마다 연약층 위치가 조금씩 달라 소수점 둘째 자리에서 차이 남)`을 추가함 (근거: Rocscience Slide2 Verification Problem #22 p. 93).
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11. **4.2 경우 2 `3D Janbu 보정법 1.540`**: `출처 확인 안 됨`으로 표시하고 `Lam & Fredlund (1993) 네 값 1.607 · 1.558 · 1.62 · 1.603 (세부 방법 표기 없음)`으로 교체함 (근거: Lam & Fredlund 1993, Can. Geotech. J. 30(6)).
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12. **4.2 경우 3 Zhang 안전율**: `1.258`(2D FK 약층+수위선 Bishop 1.248과 혼동) $\rightarrow$ `Zhang (1988) = 1.441, Lam & Fredlund (1993) = 1.511 · 1.481 · 1.54 · 1.508, Gharti et al. (2011) = 1.49`로 고침 (근거: Slide3 2D Extruded Verification #14~#16 Referee 줄 및 Lam & Fredlund 1993).
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13. **4.2 경우 3 Hungr `1.300`**: 원문에서 확인되지 않아 제거 및 `출처 확인 안 됨`으로 명시함 (근거: 원문 대조).
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14. **4.2 경우 3 지하수위선 좌표 추가**: 수위선 정의 누락 $\rightarrow$ `사면 뒤 경계(발끝 뒤 42.7 m = 140 ft)에서 발끝 위 6.1 m (20 ft) → 발끝까지 직선 → 발끝 앞 지표면, u = \gamma_w × 연직 깊이`를 추가함 (근거: Fredlund & Krahn 1977 Fig. 8 및 Slide3 Verification #16 Fig. 16).
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15. **4.2 물성 반올림 주기 추가**: `\gamma = 18.84 kN/m^3, c' = 28.73 kPa` 옆에 문헌마다 `\gamma = 18.8 kN/m^3, c' = 29.0 kPa`로 반올림하여 표기함을 병기함 (근거: Zhang 1988, Hungr et al. 1989 원문).
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@@ -184,55 +184,94 @@
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### 4.3 검증 예제 #3: ACADS Problem 1(c) — 3개 지층 다층 사면 (Non-Homogeneous 3-Layer Slope)
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- **출처**: Giam & Donald (1989) Problem 1(c); Rocscience Slide2 Verification Manual Problem #3; GeoStudio SLOPE/W Verification Manual.
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- **문제 설명**: 전단강도가 서로 다른 3개 지층으로 구성된 다층 사면에서 다층 경계를 가로지르는 임계 활동면 탐색 능력을 검증하는 문제임.
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- **기하 형상 및 지층 경계 좌표 (단위: $\text{m}$)**:
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- 외곽 경계: $(20, 20) \rightarrow (70, 20) \rightarrow (70, 35) \rightarrow (50, 35) \rightarrow (30, 25) \rightarrow (20, 25)$
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- 상부/중간 지층 경계선 (Layer 1 / Layer 2): $(36, 28) \rightarrow (70, 28)$ (사면 경사면 $(36, 28)$에서 수평으로 우측 경계까지 연장)
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- 중간/하부 지층 경계선 (Layer 2 / Layer 3): $(20, 23) \rightarrow (30, 25) \rightarrow (70, 23)$ (기슭 $(30, 25)$를 꼭짓점으로 완만히 경사진 경계)
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- **지층별 물성치 (단위중량은 전 지층 $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, 지하수위 없음)**:
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- **Layer 1 (상부 사질토층)**: $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, $c' = 0.0\text{ kPa}$, $\phi' = 38.0^\circ$
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- **Layer 2 (중간층)**: $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, $c' = 5.3\text{ kPa}$, $\phi' = 23.0^\circ$
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- **Layer 3 (하부 점성토층)**: $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, $c' = 7.2\text{ kPa}$, $\phi' = 20.0^\circ$
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- **기대 안전율**:
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- **출처**: Giam & Donald (1989) Problem 1(c); Rocscience Slide2 Verification Manual Problem #3 (`Rocscience_Slide2_SlopeStabilityVerification.pdf`, pp. 28–31, Figure 3.1, Table 3.1 & Table 3.2).
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- **문제 설명**: 전단강도가 서로 다른 3개 지층으로 구성된 다층 사면에서 다층 경계를 가로지르는 임계 원호 활동면 탐색($20 \times 20$ 격자, 점당 $11$개 원호, 총 $4,851$개 활동면)을 검증하는 문제임.
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- **기하 형상 및 지층 경계 좌표 (Slide2 Figure 3.1 원문 기준, 단위: $\text{m}$)**:
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- **외곽 경계 (External Boundary)**: $(20, 20) \rightarrow (70, 20) \rightarrow (70, 35) \rightarrow (50, 35) \rightarrow (30, 25) \rightarrow (20, 25)$
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- **지층 1 / 지층 3 직접 경계 (비탈면 기슭 쪽)**: $(30, 25) \rightarrow (40, 27)$ (지층 2는 기슭 $(30, 25)$가 아니라 사면 경사면 중간인 $(40, 27)$에서 쐐기 형태로 시작됨)
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- **지층 1 / 지층 2 경계선**: $(40, 27) \rightarrow (50, 29) \rightarrow (54, 31) \rightarrow (70, 31)$
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- **지층 2 / 지층 3 경계선**: $(40, 27) \rightarrow (52, 24) \rightarrow (70, 24)$
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- **지층 3 좌측 상면**: $(20, 25) \rightarrow (30, 25)$ (외곽 경계 그대로임)
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- **폴리곤 정의 요약 (`test_532_2_stab_lem_benchmarks.py` 대조 검증 완료)**:
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- `Soil #1` (상부층): `[[30, 25], [50, 35], [70, 35], [70, 31], [54, 31], [50, 29], [40, 27]]`
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- `Soil #2` (중간층): `[[40, 27], [50, 29], [54, 31], [70, 31], [70, 24], [52, 24]]`
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||||
- `Soil #3` (하부층): `[[20, 20], [70, 20], [70, 24], [52, 24], [40, 27], [30, 25], [20, 25]]`
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||||
- *(주석: Slide2 Figure 3.1에서 숫자로 직접 인쇄된 좌표는 $(30, 25), (50, 35), (70, 31), (70, 24)$이며, 내부 꺾임점 $(40, 27), (50, 29), (54, 31), (52, 24)$는 그림 격자 눈금 판독값임)*
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- **지층별 물성치 (Table 3.1 원문 — 전 지층 $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, 지하수위 없음)**:
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- **Soil #1 (상부층)**: $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, $c' = 0.0\text{ kN/m}^2$, $\phi' = 38.0^\circ$
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- **Soil #2 (중간층)**: $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, $c' = 5.3\text{ kN/m}^2$, $\phi' = 23.0^\circ$
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||||
- **Soil #3 (하부층)**: $\gamma = 19.5\text{ kN/m}^3$, $c' = 7.2\text{ kN/m}^2$, $\phi' = 20.0^\circ$
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- **기대 안전율 (Slide2 Table 3.2 원문 그대로)**:
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| 해석 방법 | ACADS Referee | Rocscience Slide2 | GeoStudio SLOPE/W |
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| :--- | :---: | :---: | :---: |
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| **Bishop Simplified** | $1.39 \sim 1.41$ | $1.405$ | $1.406$ |
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| **Spencer** | $1.39$ | $1.375$ | $1.380$ |
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| **GLE / Morgenstern-Price** | $1.39$ | $1.374$ | $1.384$ |
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| **Janbu Corrected** | — | $1.357$ | — |
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| 해석 방법 (Method) | Rocscience Slide2 (Table 3.2) | Slide2 Table 3.2 원문 하단 주석 (Note) |
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| :--- | :---: | :--- |
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| **Bishop (Simplified)** | **$1.405$** | • `Reference factor of safety = 1.65 [Giam]` *(Slide2 매뉴얼에 Problem #2의 기준값 $1.65$가 그대로 실린 원문 오기로 보임)*<br>• `Mean Bishop FOS (16 samples) = 1.406`<br>• `Mean FOS (31 samples) = 1.381` |
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| **Spencer** | **$1.375$** | 상동 |
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| **GLE (Morgenstern-Price)** | **$1.374$** | 상동 |
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| **Janbu Corrected** | **$1.357$** | 상동 |
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> *(비고: 구판 초안에 표기되었던 `ACADS Referee 1.39` 및 `GeoStudio SLOPE/W (1.406, 1.380, 1.384)` 열은 Slide2 Verification Manual 원문에 없으며 **출처 확인 안 됨**으로 정리함)*
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### 4.4 검증 예제 #4: ACADS Problem 2(a) / Fredlund & Krahn (1977) — 지하수위 및 박층 약층을 포함한 복합 사면
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### 4.4 검증 예제 #4: Fredlund & Krahn (1977) — 균질 원호(#21) 및 박층 약층 포함 지정 복합 원호(#22)
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- **출처**: Fredlund & Krahn (1977), *Comparison of Slope Stability Methods of Analysis*, Canadian Geotechnical Journal, 14(3), 429–439; Slide2 Verification Manual Problem #4~#9; SLOPE/W Verification Manual.
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- **문제 설명**: 높이 $12.2\text{ m}$ ($40\text{ ft}$), 경사 $2\text{H}:1\text{V}$ 사면에 대해서 (Case 1) 단순 균질 건기, (Case 2) 하부 기반암 상단 박층 약층(Weak Layer) 포함, (Case 3) 간극수압계수 $r_u = 0.25$ 적용, (Case 4) 피압수위선(Piezometric Line) 적용 등 6가지 조건별로 6개 한계평형법의 안전율을 정밀 비교한 고전 표준 문제임.
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- **주요 제원 (SI 환산)**:
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- 본체 토사(Soil 1): $\gamma = 18.84\text{ kN/m}^3$, $c' = 28.73\text{ kPa}$, $\phi' = 20.0^\circ$
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- 하부 약층(Weak Layer, Soil 2): $\gamma = 18.84\text{ kN/m}^3$, $c' = 0.0\text{ kPa}$, $\phi' = 10.0^\circ$
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- **고전 기준 안전율 (Fredlund & Krahn, 1977 원문 vs. Slide2 / SLOPE/W)**:
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- **출처**: Fredlund, D. G., & Krahn, J. (1977), *Comparison of Slope Stability Methods of Analysis*, Canadian Geotechnical Journal, 14(3), 429–439; **Rocscience Slide2 Verification Manual Problem #21 (pp. 91–92, Table 21.1 & 21.2) 및 Problem #22 (pp. 93–94, Table 22.1 ~ 22.4)**. *(주의: ACADS Problem 2(a)는 Slide2 Problem #5로서 별개의 문제임)*
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- **문제 설명 및 단위계 (영국 단위 원문)**:
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- 원문은 영국 단위계(Imperial units: 길이 $\text{ft}$, 단위중량 $\text{pcf}$, 점착력 $\text{psf}$)로 정의되며, Slide2 검증 매뉴얼 및 `test_532_2_stab_lem_benchmarks.py` 시험도 영국 단위 원문 수치를 그대로 사용함.
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- **외곽 경계 좌표 (단위: $\text{ft}$)**: $(0, 0) \rightarrow (180, 0) \rightarrow (180, 20) \rightarrow (140, 20) \rightarrow (60, 60) \rightarrow (0, 60)$ (비탈면 기슭 $(140, 20)$, 어깨 $(60, 60)$, 사면 높이 $H = 40\text{ ft} \approx 12.2\text{ m}$, 경사 $2\text{H}:1\text{V}$).
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- **지반 물성치 (Table 21.1 & Table 22.1 원문)**:
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- **Upper Soil (본체 토사)**: $c' = 600\text{ psf}$ (SI 환산 $28.73\text{ kPa}$), $\phi' = 20^\circ$, $\gamma = 120\text{ pcf}$ (SI 환산 $18.85\text{ kN/m}^3$)
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- **Weak Layer (Problem #22 하부 수평 약층)**: $c' = 0\text{ psf}$, $\phi' = 10^\circ$, $\gamma = 120\text{ pcf}$ (위치: 기슭 아래 약 $4\sim 5\text{ ft}$ 위치에 두께 $1\text{ ft}$ 수평층; Slide2 p. 93 원문 주석과 같이 인용 문헌마다 약층 위치가 미세하게 달라 안전율이 소수점 둘째 자리에서 차이 남)
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- **지정 활동면 (Specified Slip Surface)**:
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- **Problem #21 (균질 사면)**: **지정 원호(Circular)** — 중심 $(x_c, y_c) = (120, 90)\text{ ft}$, 반지름 $R = 80\text{ ft}$.
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- **Problem #22 (약층 포함 사면)**: 자유 비원호 탐색이 아니라, 위와 동일한 원호($x_c = 120, y_c = 90, R = 80\text{ ft}$)가 하부 수평 약층에서 바닥이 수평으로 잘리는 **지정 복합 원호(Composite Circular)**임.
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- **GLE / Morgenstern-Price 조건**: 반정현(Half-sine) 절편간 힘 함수를 사용함.
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- **지하수 조건 (문제마다 3가지 Case)**:
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- `Case 1: Dry` (건기, $u = 0$)
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- `Case 2: Ru` (간극수압비 $r_u = 0.25$)
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- `Case 3: WT` (지하수위선 Piezometric Line 적용)
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| Case 조건 | Ordinary (Fellenius) | Bishop Simplified | Spencer | Janbu Simplified | Morgenstern-Price |
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| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| **Case 1 (단순 원호, 건기)** | $1.928$ | $2.080$ | $2.073$ | $2.041$ | $2.076$ |
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| **Case 2 (약층 통과 비원호, 건기)** | — | $1.377$ | $1.373$ | $1.432$ | $1.378$ |
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| **Case 3 (원호, $r_u = 0.25$)** | $1.607$ | $1.766$ | $1.761$ | $1.735$ | $1.765$ |
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| **Case 4 (약층 통과 비원호, $r_u = 0.25$)** | — | $1.124$ | $1.118$ | $1.162$ | $1.124$ |
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| **Case 5 (원호, 피압수위선)** | $1.693$ | $1.834$ | $1.830$ | $1.827$ | $1.833$ |
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| **Case 6 (약층 통과 비원호, 피압수위선)** | — | $1.248$ | $1.245$ | $1.298$ | $1.250$ |
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#### (1) Slide2 Problem #21 (균질 사면 · 지정 원호) 안전율 대조표 (Table 21.2 원문)
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| 조건 (Case) | Ordinary (F&K) | Ordinary (Slide) | Bishop (F&K) | Bishop (Slide) | Spencer (F&K) | Spencer (Slide) | M-P (F&K) | M-P (Slide) |
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| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| **1 - Dry (건기)** | $1.928$ | $1.931$ | $2.080$ | $2.079$ | $2.073$ | $2.075$ | $2.076$ | $2.075$ |
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| **2 - Ru ($r_u = 0.25$)** | $1.607$ | $1.687$ | $1.766$ | $1.763$ | $1.761$ | $1.760$ | $1.764$ | $1.760$ |
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| **3 - WT (지하수위선)** | $1.693$ | $1.716$ | $1.834$ | $1.833$ | $1.830$ | $1.831$ | $1.832$ | $1.831$ |
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#### (2) Slide2 Problem #22 (하부 약층 · 지정 복합 원호) 안전율 대조표 (Table 22.3 F&K 원문 vs. Table 22.2 Slide vs. Table 22.4 Zhu et al.)
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| 조건 (Case) | 방법 (Method) | Fredlund & Krahn (Table 22.3) | Rocscience Slide2 (Table 22.2) | Zhu, Lee & Jiang 2003 (Table 22.4) |
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| :--- | :--- | :---: | :---: | :---: |
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| **Case 1: Dry (건기)** | **Ordinary** | $1.288$ | $1.300$ | $1.300$ |
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| | **Bishop Simplified** | $1.377$ | $1.382$ | $1.380$ |
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| | **Spencer** | $1.373$ | $1.382$ | $1.381$ |
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| | **GLE / Morgenstern-Price** | $1.370$ | $1.372$ | $1.371$ |
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| **Case 2: Ru ($r_u = 0.25$)** | **Ordinary** | $1.029$ | $1.121$ | $1.038$ |
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| | **Bishop Simplified** | $1.124$ | $1.124$ | $1.118$ |
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| | **Spencer** | $1.118$ | $1.124$ | $1.119$ |
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| | **GLE / Morgenstern-Price** | $1.118$ | $1.114$ | $1.109$ |
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| **Case 3: WT (지하수위선)** | **Ordinary** | $1.171$ | $1.188$ | $1.192$ |
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| | **Bishop Simplified** | $1.248$ | $1.243$ | $1.260$ |
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| | **Spencer** | $1.245$ | $1.244$ | $1.261$ |
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| | **GLE / Morgenstern-Price** | $1.245$ | $1.237$ | $1.254$ |
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> *(비고: Ordinary 법에서 F&K와 Slide2의 $r_u$·WT 안전율이 차이나는 이유는 간극수압 차감식을 F&K는 $N = W\cos\alpha - u l$로, Slide2는 $N = (W - u b)\cos\alpha$로 처리하기 때문임. 또한 구판 초안의 `Janbu Simplified` 열 `2.041 · 1.432 · 1.735 · 1.162 · 1.827 · 1.298`은 Slide2 Table 21.2 / 22.2~22.4 원문에 수록되어 있지 않아 **Slide2 원문 출처 확인 안 됨**으로 제외함)*
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### 4.5 검증 예제 #5: Baligh & Azzouz (1975) / Hungr (1989) — 3D 구형·타원체 활동면 벤치마크 (Slide3 / Scoops3D 검증 예제)
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### 4.5 검증 예제 #5: Gens et al. (1988) / Zhang (1988) — 3D 구형·타원체 활동면 벤치마크 (`05` 문서 §4.1 · §4.2 동기화)
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- **출처**: Baligh & Azzouz (1975), *End Effects on Stability of Cohesive Slopes*, J. Geotech. Eng. Div., ASCE; Hungr, Salgado & Byrne (1989); USGS Scoops3D Manual (Reid et al., 2015, Chapter 7 Verification); Rocscience Slide3 Verification Manual Problem #1~#2.
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- **문제 설명**:
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1. **순수 점성토($\phi = 0, c > 0$) 3D 구형(Spherical) 활동면 엄밀해**: 닫힌 해석해(Analytical Solution) $F_{3\text{D}} = 1.402$ ($2\text{D}$ 원호 안전율 $F_{2\text{D}} = 1.323$ 대비 $F_{3\text{D}}/F_{2\text{D}} = 1.060$). Scoops3D 및 Slide3 모두 격자 해상도 세분화 시 $1.402 \pm 0.003$으로 수렴함.
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2. **$c$-$\phi$ 복합 사면 (Zhang, 1988 / Slide3 Verification #2)**: 경사 $2\text{H}:1\text{V}$, 높이 $10\text{ m}$, $\gamma = 18.8\text{ kN/m}^3, c' = 29.0\text{ kPa}, \phi' = 20^\circ$ 사면에 장축 대 단축 비가 대칭인 3D 타원체 활동면을 적용할 때:
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- **균질 건기 조건**: Zhang (1988) = $2.122$, Hungr et al. (1989) 3D Bishop = $2.13$, Slide3 3D Bishop = $2.128$, Scoops3D 3D Bishop = $2.135$.
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||||
- **하부 약층($c'=0, \phi'=10^\circ$) 포함 복합 타원체**: Zhang (1988) = $1.553$, Hungr (1989) = $1.62$, Slide3 3D Janbu = $1.54$, 3D Bishop = $1.60$.
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||||
- **출처**: Gens, Hutchinson & Cavounidis (1988); Hungr, Salgado & Byrne (1989); Zhang (1988); Lam & Fredlund (1993); USGS Scoops3D Manual (Reid et al., 2015, Section 6.1 pp. 158–159); *PLoS ONE* 18(7): e0287998; Slide3 2D Extruded Verification #14~#16.
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||||
- **문제 설명 및 기준 안전율 (`05_3D_사면안정해석_논문_기술정보.md` §4.1 · §4.2와 동일)**:
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1. **순수 점성토($\phi = 0, c_u = 0.1, \gamma = 1.0$) $2\text{H}:1\text{V}$ 무한 평면 사면의 3D 구형($R = 1.0$, 중심~사면 법선 거리 $z = 0.5$) 활동면 엄밀해**:
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- 닫힌 형태 해석해(Analytical Solution): **$F_{3\text{D,exact}} = 1.402$**, 구 모자 부피 **$V_{\text{exact}} = 0.6545\text{ }R^3$ ($0.654$)**.
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||||
- USGS Scoops3D (Table 6.2, 150,292 columns): $F_{\text{3D,Bishop}} = 1.400$, $F_{\text{3D,Ordinary}} = 1.400$, 부피 $V = 0.655$.
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||||
2. **$c'$-$\phi'$ 복합 사면 (Zhang, 1988 / Hungr et al., 1989)**: 경사 $2\text{H}:1\text{V}$, 높이 $H = 12.2\text{ m}$ ($40\text{ ft}$), $\gamma = 18.84\text{ (또는 }18.8\text{) kN/m}^3, c' = 28.73\text{ (또는 }29.0\text{) kPa}, \phi' = 20^\circ$ 사면에 중심이 발끝 바깥 $6.1\text{ m}$ · 위 $21.3\text{ m}$이고 **$R_x = R_z = 24.4\text{ m}$, $R_y = 78.2\text{ m}$인 3D 타원체 활동면**을 적용할 때:
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- **Case 1 (균질 건기)**: Zhang (1988) = **$2.122$**, Hungr et al. (1989) 3D Bishop = **$2.167$**, Griffiths & Marquez (2007) 3D FEM = **$2.150$** (동일 단면 2D Ordinary = $1.928$, 2D Bishop = $2.080$).
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- **Case 2 (발끝 아래 약 $0.94\text{ m}$ 수평 약층 $c'_w=0, \phi'_w=10^\circ$ 절단 복합 타원체)**: Zhang (1988) = **$1.553$** (또는 $1.533$), Hungr et al. (1989) 3D Bishop = **$1.620$**, Lam & Fredlund (1993) = **$1.607 \cdot 1.558 \cdot 1.62 \cdot 1.603$**.
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- **Case 3 (Case 2 + 지하수위선: 발끝 뒤 $42.7\text{ m}$에서 발끝 위 $6.1\text{ m} \rightarrow$ 발끝 직선 연결)**: Zhang (1988) = **$1.441$**, Lam & Fredlund (1993) = **$1.511 \cdot 1.481 \cdot 1.54 \cdot 1.508$**, Gharti et al. (2011) = **$1.49$**.
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@@ -244,4 +283,18 @@
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2. **결과 화면 필수 3요소**:
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- 단면 위 **최소 안전율 임계면 + 회전중심/반경 박스**, 지반 내 위험 구역을 한눈에 보여주는 **등안전율 컬러 밴드(Safety Map)**, 그리고 개별 절편의 수렴성을 확인하는 **절편 자유물체도(Slice Free Body Diagram) 및 절편력 그래프**가 상용 SW의 공통 핵심 시각화 요소임.
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3. **자체 검증 자동화**:
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- 4장에 수록한 **ACADS 1(a), 1(c), Fredlund & Krahn (1977) Case 1~6, 3D 구형/타원체 예제**의 좌표와 물성을 `resources/tester/` 단위 테스트 픽스처로 등록하면, 엔진 구현 즉시 상용 SW(Slide2, SLOPE/W, Slide3) 대비 소수점 둘째 자리($\pm 0.01$) 이내 일치 여부를 자동 검증할 수 있음.
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- 4장에 수록한 **ACADS 1(a), 1(c), Fredlund & Krahn (1977) #21·#22, 3D 구형/타원체 예제**의 좌표와 물성을 `resources/tester/` 단위 테스트 픽스처로 등록하면, 엔진 구현 즉시 상용 SW(Slide2, Slide3) 대비 오차 범위 이내 일치 여부를 자동 검증할 수 있음.
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## 고침 이력(2026-10-26)
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1. **§4.3 ACADS 1(c) 지층 1/2 경계 좌표**: `(36, 28) → (70, 28) 수평` $\rightarrow$ `(40, 27) → (50, 29) → (54, 31) → (70, 31)`로 고침 (근거: Slide2 Verification Manual Problem #3 p. 28 Figure 3.1 및 `test_532_2_stab_lem_benchmarks.py`).
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2. **§4.3 ACADS 1(c) 지층 2/3 경계 좌표**: `(20, 23) → (30, 25) → (70, 23)` $\rightarrow$ `(40, 27) → (52, 24) → (70, 24)`로 고침 (근거: Slide2 Verification Problem #3 Figure 3.1).
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3. **§4.3 ACADS 1(c) 지층 1/3 직접 경계 및 지층 3 좌측 상면**: 누락되었던 지층 1/3 경계 `(30, 25) → (40, 27)`(지층 2는 $(40, 27)$에서 쐐기로 시작)을 추가하고, 지층 3 좌측 상면을 `(20, 23)`에서 외곽 경계 `(20, 25) → (30, 25)`로 고침 (근거: Slide2 Verification Problem #3 Figure 3.1).
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4. **§4.3 ACADS 1(c) 기준값 및 SLOPE/W 열**: 원문에 없는 `ACADS Referee 1.39` 및 `SLOPE/W (1.406, 1.380, 1.384)` 열을 `출처 확인 안 됨`으로 제거하고, Slide2 Table 3.2 원문 주석(`Reference factor of safety = 1.65 [Giam]` — #2 값이 복제된 원문 오기, `Mean Bishop FOS (16 samples) = 1.406`, `Mean FOS (31 samples) = 1.381`)을 그대로 기재함 (근거: Slide2 Verification Problem #3 p. 29 Table 3.2).
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5. **§4.4 제목 및 출처 번호**: `ACADS Problem 2(a) / Fredlund & Krahn (1977) · Slide2 #4~#9` $\rightarrow$ `Fredlund & Krahn (1977) · Slide2 Verification Problem #21(균질 · 지정 원호) 및 #22(약층 · 지정 복합 원호)`로 고침(ACADS 2(a)는 Slide2 #5로 별개 문제임) (근거: Slide2 Verification Manual pp. 91–94).
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6. **§4.4 Case 구성 및 활동면 정의**: `Case 1~6 (원호 · 약층 통과 비원호 번갈아)` $\rightarrow$ `#21(지정 원호 xc=120, yc=90, R=80 ft) 및 #22(동일 원호가 약층에서 바닥이 수평으로 잘리는 지정 복합 원호) 각각에 대해 Case 1: Dry, Case 2: Ru(0.25), Case 3: WT(수위선)` 및 `M-P 반정현(Half-sine) 절편간 힘 함수`로 고침 (근거: Slide2 Verification Problem #21 · #22 pp. 91–94).
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7. **§4.4 단위계 및 외곽 좌표**: SI 환산만 적었던 것을 영국 단위 원문($c' = 600\text{ psf}, \gamma = 120\text{ pcf}$, 좌표 $\text{ft}$ 단위: `(0,0)→(180,0)→(180,20)→(140,20)→(60,60)→(0,60)`) 주 표기 및 SI 병기로 고침 (근거: Slide2 Verification Table 21.1 & Table 22.1).
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8. **§4.4 안전율 표 (Ordinary 약층 값 추가 · M-P 원문 수치 교정 · Janbu 열 정리)**: Slide2 Table 21.2 및 Table 22.2~22.4에 없는 `Janbu Simplified` 열(`2.041~1.298`)을 `Slide2 원문 출처 확인 안 됨`으로 빼고, 누락되었던 #22 약층 Ordinary 안전율(`F&K: Dry 1.288, Ru 1.029, WT 1.171 / Slide: 1.300, 1.121, 1.188`)을 추가하며, M-P 수치를 F&K 원문(`#21: 2.076, 1.764, 1.832 / #22: 1.370, 1.118, 1.245`)과 Slide2 결과(`#21: 2.075, 1.760, 1.831 / #22: 1.372, 1.114, 1.237`)로 정확히 분리 수록함 (근거: Slide2 Verification Manual pp. 92, 94 Table 21.2, 22.2, 22.3, 22.4).
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9. **§4.5 3D 구형·타원체 벤치마크 요약 동기화**: `05_3D_사면안정해석_논문_기술정보.md` §4.1 · §4.2의 고침 내용(Gens et al. 1988 구 $R=1, z=0.5, c=0.1, \gamma=1$ 및 Zhang 1988 타원체 $H=12.2\text{ m}, R_x=R_z=24.4\text{ m}, R_y=78.2\text{ m}$, Hungr $2.167$, 경우 3 Zhang $1.441$ 등)과 일치하도록 함께 고침 (근거: Scoops3D Manual Section 6.1 및 PLoS ONE e0287998 Table 2).
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